Современная фундаментальная математика
Магистратура и аспирантура
Алексей Игоревич Бондал
Руководитель
доктор физико-математических наук
ведущий научный сотрудник Математического института им. В. А. Стеклова РАН
Лаборатория АГГА
Базовая организация
Центр фундаментальной математики МФТИ
Лаборатория алгебраической геометрии и гомологической алгебры (лаборатория АГГА)

Современная алгебраическая геометрия имеет долгую историю, выдающиеся математики планеты занимались ею на протяжении веков. Гомологическая алгебра расцвела в 20-м веке, но за это время также достигла впечатляющих результатов, поражающих своей глубиной. Перед тем, кто решил заняться этой тематикой откроется целый мир фундаментальных научных идей, в которых надо не потеряться.

Студенты, аспиранты и сотрудники ведут исследования в областях:

  • Теория представлений, квантовая теория информации, квантовые интегрируемые системы
  • Математическая физика, топология
  • Топология плоских вещественных алгебраических кривых и вещественных алгебраических поверхностей, теория кос, отображения комплексных поверхностей
  • Группы отражений, особенности гиперповерхностей, комплексная геометрия
  • Теория особенностей, тропическая геометрия
  • Бирациональная геометрия, программа минимальных моделей, многообразия Фано и их вырождения
  • Теория точных категорий, теория представлений колчанов, теория t-структур
Перспективы выпускников
Система постдоков
Аспирантура и научная работа в Центре фундаментальной математики МФТИ
Работа
Работа в ведущих математических институтах: МИАН, ВШЭ, МГУ, ПОМИ, СПбГУ и других
Гранты
Грантовая поддержка молодых ученых
Основные курсы
Алгебраическая геометрия
Канд. физ.-мат. наук, доцент ВШЭ Владимир Сергеевич Жгун

По средам, ауд. 413 ГК, с 13:55 до 15:20 (лекция) и с 15:30 до 16:55 (семинар)

Начало занятий — 14.09.2022

Длительность курса — 2 семестра
Введение в современную алгебру I
Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики МФТИ, научный сотрудник лаборатории АГГА Илья Вячеславович Каржеманов

По средам, ауд. 535 ГК, с 10:45 до 12:10 (лекция) и с 12:20 до 13:55 (семинар)

Начало занятий — 14.09.2022

Длительность курса — 1 семестр
Введение в современную алгебру II
PhD, доцент ВШЭ Александр Борисович Павлов

Длительность курса — 1 семестр
Группы и алгебры Ли
Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики МФТИ Андрей Игоревич Мудров

Длительность курса — 2 семестра
Алгебраическая топология
Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики МФТИ Андрей Владимирович Ершов

По понедельникам, ауд. 416 ГК, с 15:30 до 16:55

Начало занятий — 05.09.2022

Длительность курса — 2 семестра

Формально курс А. В. Ершова основной, но начинается он только на втором году обучения в магистратуре, поэтому в этом году его можно брать только в качестве факультатива
Manifolds, bundles, connections, and cohomology
Associate professor at HSE Christopher Brav

По четвергам, ауд. 230 ГК, с 13:55 до 15:20 (лекция) и с 15:30 до 16:55 (семинар)

Начало занятий — 08.09.2022

Длительность курса — 2 семестра
Специальные курсы
Маломерная топология и алгебраические кривые
Канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник МИАН, профессор в Pual Sabatier University — Toulouse III, ведущий научный сотрудник лаборатории АГГА Степан Юрьевич Оревков

По четвергам, ауд. 210 ГК, с 17:05 до 18:30

Начало занятий 15.09.2022

Длительность курса — 1 семестр
Гомологическая алгебра в алгебраической геометрии
Д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник МИАН, заведующий лабораторией АГГА Алексей Игоревич Бондал и канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник лаборатории АГГА Дмитрий Владимирович Дубнов

По четвергам, ауд. 430 ГК, с 15:30 до 16:55 (лекция)

Начало занятий — 08.09.2022

Длительность курса — 2 семестра
Математические основы квантовой механики
Д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник МИАН Григорий Геннадиевич Амосов

По понедельникам, ауд. 313 МИАН (+ онлайн), с 18:00 до 19:30

Начало занятий — 12.09.2022

Длительность курса — 1 семестр

Просьба ко всем слушателям курса предварительно зарегистрироваться по ссылке forms.gle/hYe6NKhzMzuL5EDq9
Введение в бирациональную геометрию
Канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник МИАН, научный сотрудник лаборатории АГГА Константин Валерьевич Логинов

Длительность курса — 1 семестр
Теория особенностей алгебраических многообразий
Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики МФТИ, заместитель заведующего лабораторией АГГА Дмитрий Анатольевич Степанов

Длительность курса — 1 семестр
Симплектическая топология
Канд. физ.-мат. наук, postdoc в Universite de Geneve Глеб Евгеньевич Смирнов

По вторникам, онлайн, с 18:35 до 20:00

Начало занятий — 27.09.2022

Длительность курса — 1 семестр

Как подключиться по Zoom: ссылка
Описания основных и специальных курсов
Алгебраическая геометрия
Курс представляет собой введение в фундаментальные понятия и методы современной алгебраической геометрии: схемы, пучки и когомологии. Владение этими понятиями необходимо для изучения более специальных разделов алгебраической геометрии и ее приложений. В первом разделе мы познакомимся с понятиями аффинного и проективного спектра кольца, общей схемы, когерентного пучка, пучка дифференциалов. Будут описаны конструкции относительного спектра и раздутия пучка идеалов. Затем мы определим когомологии Чеха пучка на схеме и изучим их основные свойства. С помощью них будут проделаны так называемые Серровские вычисления для когомологий обратимых пучков проективного пространства. С помощью них мы получим двойственность Серра для когомологий, играющую важнейшую роль в алгебраической геометрии.

Мы изучим различные типы морфизмов между схемами, такие как отделимые, собственные, конечные, плоские, гладкие этальные. Мы введем понятие плоского семейства многообразий и пучков на них, важного для теории деформаций, и укажем их важные когомологические свойства, например, постоянство многочлена Гильберта. Мы обсудим фундаментальную теорему о полунепрерывности размерности слоев морфизма и полунепрерывности размерностей групп когомологий в семействах многообразий. Также мы постараемся обсудить теорему Безу, теорему Бертини об общем гиперплоском сечении и теорию пересечений.
В заключительном разделе курса акцент будет сделан на теории торических алгебраических многообразий. С одной стороны, это ознакомит слушателя с одним из важнейших для приложений классов алгебраических многообразий, а с другой послужит конкретной и относительно несложной иллюстрацией общих понятий, изученных ранее.

Основная литература:


  1. Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, М.: Мир, 1981.
  2. W. Fulton, Introduction to toric varieties, Princeton University Press, 1993.
Введение в современную алгебру I
В курсе будет рассказано про основные понятия и методы в современной алгебре. Курс будет сопровождаться примерами и задачами для самостоятельного решения.

Примерная программа курса:

(Теория групп)
  1. Общие понятия теории групп: действие на множестве, орбиты, стабилизатор; подгруппы, классы смежности, классы сопряженности; гомоморфизм, ядро и образ, нормальная подгруппа. Основные теоремы: формула разложения на орбиты, следствия из нее, теоремы о гомоморфизме.
  2. Силовские подгруппы и теоремы Силова. Строение конечнопорожденных абелевых групп.
  3. Коммутант, разрешимая группа, условия (не) разрешимости. Пример с группами S_n и A_n.
  4. Теория представлений конечных групп: полная приводимость, лемма Шура, характеры, соотношение ортогональность, теорема Бернсайда.

(Кольца и модули)
  1. Общие понятия теории коммутативных колец: гомоморфизм, идеалы; делители нуля, локализация; факториальные кольца; нетеровость. Основные теоремы: существование максимальных идеалов, китайская теорема об остатках, факториальность кольца главных идеалов, теорема Гильберта.
  2. Модули: основные определения, операции с модулями (факторы, тензорное/внешнее/симметрическое произведения); теорема Жордана-Гельдера; модули над кольцом главных идеалов («жорданова нормальная форма»); полупростые кольца и их представления.
  3. Некоторые вспомогательные алгебраические конструкции: гомологии, группа Брауэра, кольцо Гротендика.

Основная литература:
  1. С. Ленг, Алгебра, М.: Наука, 1965.
  2. И.Р. Шафаревич, Основные понятия алгебры, Алгебра — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 11, ВИНИТИ, М., 1986, 5 — 279.
Введение в современную алгебру II
Примерная программа курса:

(Теория Галуа)
  1. Расширения полей (алгебраические и трансцендентные, конечные, сепарабельные и чисто несепарабельные, нормальные расширения).
  2. Поля разложения. Алгебраическое замыкание поля.
  3. Расширения Галуа. Теорема Галуа о соотвествии.
  4. Приложения: разрешимость уравнений в радикалах, построения циркулем и линейкой.

(Коммутативная алгебра)
  1. Локализация. Локальные свойства модулей.
  2. Спектр кольца. Носитель модуля.
  3. Ассоциированные простые и примарные разложения.
  4. Целые расширения колец. Приложения к алгебрам конечного типа (лемма Нетер о нормализации, теорема Гильберта о нулях).

(Гомологическая алгебра)
  1. Теория категорий: пределы и копределы, сопряженные функторы.
  2. Точные последовательности. Проективные, инъективные и плоские модули.
  3. Комплексы. Проективные, инъективные и плоские резольвенты. Производные функторы Tor и Ext.
Группы и алгебры Ли
Группа — это множество, на котором задана операция ассоциативного умножения с единицей, и в котором каждый элемент обратим. Группы образуют фундаментальную алгебраическую структуру, формализующую понятие симметрии, и по этой причине играют исключительно важную роль в математике и ее приложениях. Группы Ли одновременно являются гладкими многообразиями и естественно возникают в качестве симметрий геометрических пространств. «Линеаризация» групповых преобразований приводит к богатой теории алгебр Ли, которая во многом параллельна теории групп Ли, но также представляет самостоятельный интерес. Алгебры Ли имеют «больше» представлений и приводят к далеко идущим обобщениям, например таким, как супералгебры Ли и квантовые группы. Данный курс является введением в общую теорию групп и алгебр Ли, теорию полупростых алгебр Ли с элементами теории представлений и приложениями к физическим проблемам.
Алгебраическая топология

Алгебраическая топология является фундаментом для значительной части современной математики, а также источником многих ее идей. Методы алгебраической топологии широко используются как в математике, так и в разнообразных приложениях. Данный спецкурс ставит целью познакомить слушателей как со стандартным классическим подходом к данному предмету, так и дать представление о его более современных методах и идеях. В частности, в процессе его изучения студенты познакомятся с языком теории категорий, элементами гомологической алгебры и симплициальными множествами, занимающими важное место в современной математике.

Темы:

  1. Сингулярные гомологии, их гомотопической инвариантность. Точная последовательность пары. Вырезание. Аксиомы Эйленберга-Стинрода.
  2. Расслоения в смысле Гуревича. Корасслоения. Расслоенная и корасслоенная последовательности. Гомотопический слой.
  3. Гомотопический теория клеточных пространств. Клеточная аппроксимация. Башни Постникова и Уайтхеда. Пространства Эйленберга-Маклейна. Когомологии как представимый функтор. Теория препятствий.
Manifolds, bundles, connections, and cohomology
This course will give an introduction to the basic objects of differential topology and differential geometry. After reviewing the basics of manifolds and differential forms, including de Rham cohomology and Stokes’s theorem on integration of differential forms, we introduce various additional geometric structures on manifolds and show how the existence of geometric structures of a certain sort constrains the topology of the underlying manifold. Topics to be covered include Riemannian, symplectic, and Kahler structures, principal bundles for Lie groups, connections on principal bundles, and the associated characteristic classes, and the rudiments of Hodge theory.
Маломерная топология и алгебраические кривые

Примерная программа курса:

  1. Основные ограничения на кривые произвольных степеней: неравенства Петровского, Арнольда, сравнение Гудкова-Рохлина, формулы комплексных ориентаций.
  2. Гибкие и псевдоголоморфные кривые. Связь с квазиположительными косами. Необходимые условия квазиположительности. Задача алгоритмического распознавания квазиположительных кос.
  3. Тригональные кривые и техника dessins d’enfant.
  4. Методы, используемые в классификации для малых степеней. Построения вещественных алгебраических кривых методом Виро и его обобщения, построение циклов на двулистном накрытии при помощи пучков прямых, применение теории узлов и теории кос.
Гомологическая алгебра в алгебраической геометрии
Задача Кронекера о каноническом виде пары линейных операторов переформулируется на языке абелевых категорий — это задача поиска неразложимых представлений колчана Кронекера. Они взаимно однозначно соответствуют неразложимым когерентным пучкам на проективной прямой, классифицированным Гротендиком. Это соответствие ведет к понятию производной категории и производной эквивалентности абелевых категорий. Цель спецкурса и спецсеминара — научиться изучать гомологическими методами абелевы и триангулированные категории: представлений конечномерных алгебр, когерентных пучков на проективных многообразиях и пр., исследовать алгебраические объекты геометрическими методами и наоборот. Также будет рассказано о наших конструкциях связанных с гомоморфизмами ассоциативных алгебр: композиции колчанов композиции по двум гомоморфизмам и др.

Примерная программа курса:
  1. Колчаны с соотношениями. Колчан Кронекера, классификация его представлений. Проективные, инъективные и простые представления колчанов с соотношениями. Вычисления при помощи проективных резольвент. Гомологическая размерность. Эквивалентность Мориты.
  2. Квазикогерентные и когерентные пучки на проективных многообразиях. Пучки кручения, носитель пучка, слой пучка в точке. Когомологии когерентных пучков. Hom-ы и Ext-ы. Двойственность Серра. Классификация когерентных пучков на. Абелева категория и ее группа Гротендика (K0). Эйлерова характеристика как билинейная форма на K0.
  3. Триангулированные и производные эквивалентности. Исключительные наборы. Производные эквивалентности. Функтор Серра. Исключительные наборы. Производная эквивалентность, задаваемая полным сильным исключительным набором. Перестройки и действие группы кос. Исключительный набор на. Жесткие когерентные пучки на поверхностях дель Пеццо.
  4. Гладкие эллиптические кривые. Описание векторных расслоений на них (теорема Абеля). Введение в зеркальную симметрию на гладкой эллиптической кривой.
  5. Спектральные последовательности: общая конструкция и примеры — локально-тривиального расслоения, Гротендика, Эйленберга-Мура. Примеры простейших вычислений
  6. Композиция колчанов и композиция ассоциативных алгебр по двум гомоморфизмам. Конструкции, связанные с гомоморфизмами алгебр.
  7. Топологические превратные пучки. Функторы, связанные с превратными пучками.
  8. Квазинаследственные алгебры и их представления. Связь с превратными пучками. Исключительные наборы для квазинаследственных алгебр.
  9. Полуортогональные разложения производных категорий: алгебраические и геометрические примеры. T-структуры, пары кручения. Склейка t-структур. Связь с превратными пучками.
  10. Когомологии Хохшильда ассоциативной алгебры. Деформации алгебр. Примеры деформации колчана с соотношениями. Введение в алгебраическую K-теорию, вычисление групп в простейших случаях. Теорема Игузы-Ленцинга об отсутствии петель.
Введение в бирациональную геометрию

Курс представляет собой введение в бирациональную геометрию и программу минимальных моделей. Также обсудим некоторые вопросы теории особенностей алгебраических многообразий. Задачей курса является познакомить студентов с основными теоремами и примерами, встречающимися в этих разделе алгебраической геометрии. Планируется провести 10 лекций по 90 минут каждая. Курс рассчитан на студентов (бакалавров, магистров или аспирантов), интересующихся алгебраической геометрией. От них ожидается некоторое знакомство с этой наукой, например, в рамках глав 2 и 3 книжки Хартсхорна.

Примерная программа курса:

  1. Бирациональные морфизмы, форма пересечений на поверхностях, формула присоединения, раздутие и стягивание (−1)-кривых, критерий Кастельнуово.
  2. Программа минимальных моделей для поверхностей, минимальные поверхности, линейчатые поверхности (в том числе поверхности Хирцебруха), рациональные поверхности и поверхности дель Пеццо, критерий рациональности Кастельнуово.
  3. Особенности поверхностей, существование разрешения особенностей, дискрепатнтности, дювалевские особенности, фактор-особенности, lc и klt особенности.
  4. Non-klt локус, принцип связности Коллара-Шокурова, обращение присоединения.
  5. Программа минимальных моделей и ее вариации: логарифмическая, относительная, с действием группы, для линейных систем.
  6. Трехмерные терминальные особенности, расслоения Мори в трехмерном случае, расслоения на коники, расслоения на поверхности дель Пеццо, многообразия Фано.

Литература:
  1. A. Beauville, Complex algebraic surfaces,
  2. Ю. Г. Прохоров, Особенности алгебраических многообразий,
  3. Ja ́. Kolla ́r, K. Smith, A. Corti, Rational and nearly rational varieties,
  4. K. Matsuki, Introduction to the Mori theory,
  5. Ja ́. Kolla ́r, S. Mori, Birational geometry of algebraic varieties.
Теория особенностей алгебраических многообразий

Курс посвящен теории особенностей алгебраических многообразий. С формально-локальной точки зрения гладкие точки алгебраических многообразий одинаковы, и наибольший интерес представляют точки, в которых гладкость нарушается, т. е. особые точки. Теория особенностей доставляют массу задач интересных как сами по себе, так и с точки зрения приложений к другим областям: классификации алгебраических многообразий, зеркальной симметрии и др. В данном курсе планируется познакомить слушателя со следующими аспектами теории особенностей.

Примерная программа курса:

  1. Топологическая и аналитическая теория: расслоение и слой Милнора, число Милнора, монодромия.
  2. Важные примеры: факторособенности по конечным группам, торические особенности,
  3. особенности, возникающие в программе минимальных моделей.
  4. Проблема разрешения особенностей: понятие раздутия, вложенное разрешение, разрешение особенностей алгебраических кривых и поверхностей.

Основная литература:
  1. Дж. Милнор, Особые точки комплексных гиперповерхностей, М.: Мир, 1971.
  2. J. Seade, On the topology of isolated singularities in analytic spaces, Birkhaeuser, 2006.
  3. Ю.Г. Прохоров, Особенности алгебраических многообразий, М.: МЦНМО, 2009.
  4. S. D. Cutkosky, Resolution of singularities, AMS, 2004.
Симплектическая топология
В курсе будут изучаться открытые симплектические многообразия, удовлетворяющие так назывемому условию выпуклости. Класс таких многообразий достаточно широк; он включает в себя, например, кокасательные расслоения гладких многообразий и все штейновы многообразия. Фактически, условие выпуклости является прямым обобщением свойства штейновости. Как показали Громов и Элиашберг, многие свойства выпуклых симплектических многообразий можно получить методами комплексного анализа и геометрической топологии, не прибегая к трудной технике псевдоголоморфных кривых.

В курсе будут объяснены основные понятия симлектической и контактной геометрии. Особое внимание будет уделено выпуклым симплектическим многообразиям и их связи с комплексным анализом. Никаких предварительных знаний о симплектической геометрии не требуется. Однако очень полезным будет знакомство с алгебраической топологией и комплексным анализом.

Материал лекций рассчитан на студентов старших курсов и аспирантов. Курс будет следовать книге Чилибака и Элиашберга «Symplectic Geometry of Affine Complex Manifolds».
Поступление
Магистратура: конкурсная группа - ЛФИ Математика и физика
Конкурсные группы МФТИ и количество мест

Магистратура: вступительные испытания - математика и физика
Подробнее о вступительных испытаниях

Аспирантура: конкурсная группа - ЛФИ Физические науки
Конкурсные группы МФТИ и количество мест

Аспирантура: вступительное испытание - собеседование
Подробнее о вступительных испытаниях
Подать заявление
Контакты
Заместитель руководителя программы И. В. Каржеманов
Физтех-школа физики и исследований им. Ландау
Приемная комиссия
pk@mipt.ru
тел. +7 (495) 408-48-00