1. Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, М.: Мир, 1981.
2. W. Fulton, Introduction to toric varieties, Princeton University Press, 1993.

1. Общие понятия теории групп: действие на множестве, орбиты, стабилизатор; подгруппы, классы смежности, классы сопряженности; гомоморфизм, ядро и образ, нормальная подгруппа. Основные теоремы: формула разложения на орбиты, следствия из нее, теоремы о гомоморфизме.
2. Силовские подгруппы и теоремы Силова. Строение конечнопорожденных абелевых групп.
3. Коммутант, разрешимая группа, условия (не) разрешимости. Пример с группами S_n и A_n.
4. Теория представлений конечных групп: полная приводимость, лемма Шура, характеры, соотношение ортогональность, теорема Бернсайда.

1. Общие понятия теории коммутативных колец: гомоморфизм, идеалы; делители нуля, локализация; факториальные кольца; нетеровость. Основные теоремы: существование максимальных идеалов, китайская теорема об остатках, факториальность кольца главных идеалов, теорема Гильберта.
2. Модули: основные определения, операции с модулями (факторы, тензорное/внешнее/симметрическое произведения); теорема Жордана-Гельдера; модули над кольцом главных идеалов («жорданова нормальная форма»); полупростые кольца и их представления.
3. Некоторые вспомогательные алгебраические конструкции: гомологии, группа Брауэра, кольцо Гротендика.

1. С. Ленг, Алгебра, М.: Наука, 1965.
2. И.Р. Шафаревич, Основные понятия алгебры, Алгебра — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 11, ВИНИТИ, М., 1986, 5 — 279.

1. Расширения полей (алгебраические и трансцендентные, конечные, сепарабельные и чисто несепарабельные, нормальные расширения).
2. Поля разложения. Алгебраическое замыкание поля.
3. Расширения Галуа. Теорема Галуа о соотвествии.
4. Приложения: разрешимость уравнений в радикалах, построения циркулем и линейкой.

1. Локализация. Локальные свойства модулей.
2. Спектр кольца. Носитель модуля.
3. Ассоциированные простые и примарные разложения.
4. Целые расширения колец. Приложения к алгебрам конечного типа (лемма Нетер о нормализации, теорема Гильберта о нулях).

1. Теория категорий: пределы и копределы, сопряженные функторы.
2. Точные последовательности. Проективные, инъективные и плоские модули.
3. Комплексы. Проективные, инъективные и плоские резольвенты. Производные функторы Tor и Ext.

Алгебраическая топология является фундаментом для значительной части современной математики, а также источником многих ее идей. Методы алгебраической топологии широко используются как в математике, так и в разнообразных приложениях. Данный спецкурс ставит целью познакомить слушателей как со стандартным классическим подходом к данному предмету, так и дать представление о его более современных методах и идеях. В частности, в процессе его изучения студенты познакомятся с языком теории категорий, элементами гомологической алгебры и симплициальными множествами, занимающими важное место в современной математике.

Темы:

1. Сингулярные гомологии, их гомотопической инвариантность. Точная последовательность пары. Вырезание. Аксиомы Эйленберга-Стинрода.
2. Расслоения в смысле Гуревича. Корасслоения. Расслоенная и корасслоенная последовательности. Гомотопический слой.
3. Гомотопический теория клеточных пространств. Клеточная аппроксимация. Башни Постникова и Уайтхеда. Пространства Эйленберга-Маклейна. Когомологии как представимый функтор. Теория препятствий.

Примерная программа курса:

1. Основные ограничения на кривые произвольных степеней: неравенства Петровского, Арнольда, сравнение Гудкова-Рохлина, формулы комплексных ориентаций.
2. Гибкие и псевдоголоморфные кривые. Связь с квазиположительными косами. Необходимые условия квазиположительности. Задача алгоритмического распознавания квазиположительных кос.
3. Тригональные кривые и техника dessins d’enfant.
4. Методы, используемые в классификации для малых степеней. Построения вещественных алгебраических кривых методом Виро и его обобщения, построение циклов на двулистном накрытии при помощи пучков прямых, применение теории узлов и теории кос.

Задача Кронекера о каноническом виде пары линейных операторов переформулируется на языке абелевых категорий — это задача поиска неразложимых представлений колчана Кронекера. Они взаимно однозначно соответствуют неразложимым когерентным пучкам на проективной прямой, классифицированным Гротендиком. Это соответствие ведет к понятию производной категории и производной эквивалентности абелевых категорий. Цель спецкурса и спецсеминара — научиться изучать гомологическими методами абелевы и триангулированные категории: представлений конечномерных алгебр, когерентных пучков на проективных многообразиях и пр., исследовать алгебраические объекты геометрическими методами и наоборот. Также будет рассказано о наших конструкциях связанных с гомоморфизмами ассоциативных алгебр: композиции колчанов композиции по двум гомоморфизмам и др.

Примерная программа курса:

1. Колчаны с соотношениями. Колчан Кронекера, классификация его представлений. Проективные, инъективные и простые представления колчанов с соотношениями. Вычисления при помощи проективных резольвент. Гомологическая размерность. Эквивалентность Мориты.
2. Квазикогерентные и когерентные пучки на проективных многообразиях. Пучки кручения, носитель пучка, слой пучка в точке. Когомологии когерентных пучков. Hom-ы и Ext-ы. Двойственность Серра. Классификация когерентных пучков на P1. Абелева категория и ее группа Гротендика (K0). Эйлерова характеристика как билинейная форма на K0.
3. Триангулированные и производные эквивалентности. Исключительные наборы. Производные эквивалентности. Функтор Серра. Исключительные наборы. Производная эквивалентность, задаваемая полным сильным исключительным набором. Перестройки и действие группы кос. Исключительный набор на Pn. Жесткие когерентные пучки на поверхностях дель Пеццо.
4. Гладкие эллиптические кривые. Описание векторных расслоений на них (теорема Абеля). Введение в зеркальную симметрию на гладкой эллиптической кривой.
5. Спектральные последовательности: общая конструкция и примеры — локально-тривиального расслоения, Гротендика, Эйленберга-Мура. Примеры простейших вычислений
6. Композиция колчанов и композиция ассоциативных алгебр по двум гомоморфизмам. Конструкции, связанные с гомоморфизмами алгебр.
7. Топологические превратные пучки. Функторы, связанные с превратными пучками.
8. Квазинаследственные алгебры и их представления. Связь с превратными пучками. Исключительные наборы для квазинаследственных алгебр.
9. Полуортогональные разложения производных категорий: алгебраические и геометрические примеры. T-структуры, пары кручения. Склейка t-структур. Связь с превратными пучками.
10. Когомологии Хохшильда ассоциативной алгебры. Деформации алгебр. Примеры деформации колчана с соотношениями. Введение в алгебраическую K-теорию, вычисление групп в простейших случаях. Теорема Игузы-Ленцинга об отсутствии петель.

Курс представляет собой введение в бирациональную геометрию и программу минимальных моделей. Также обсудим некоторые вопросы теории особенностей алгебраических многообразий. Задачей курса является познакомить студентов с основными теоремами и примерами, встречающимися в этих разделе алгебраической геометрии. Планируется провести 10 лекций по 90 минут каждая. Курс рассчитан на студентов (бакалавров, магистров или аспирантов), интересующихся алгебраической геометрией. От них ожидается некоторое знакомство с этой наукой, например, в рамках глав 2 и 3 книжки Хартсхорна.

Примерная программа курса:

1. Бирациональные морфизмы, форма пересечений на поверхностях, формула присоединения, раздутие и стягивание (−1)-кривых, критерий Кастельнуово.
2. Программа минимальных моделей для поверхностей, минимальные поверхности, линейчатые поверхности (в том числе поверхности Хирцебруха), рациональные поверхности и поверхности дель Пеццо, критерий рациональности Кастельнуово.
3. Особенности поверхностей, существование разрешения особенностей, дискрепатнтности, дювалевские особенности, фактор-особенности, lc и klt особенности.
4. Non-klt локус, принцип связности Коллара-Шокурова, обращение присоединения.
5. Программа минимальных моделей и ее вариации: логарифмическая, относительная, с действием группы, для линейных систем.
6. Трехмерные терминальные особенности, расслоения Мори в трехмерном случае, расслоения на коники, расслоения на поверхности дель Пеццо, многообразия Фано.

1. A. Beauville, Complex algebraic surfaces,
2. Ю. Г. Прохоров, Особенности алгебраических многообразий,
3. Ja ́. Kolla ́r, K. Smith, A. Corti, Rational and nearly rational varieties,
4. K. Matsuki, Introduction to the Mori theory,
5. Ja ́. Kolla ́r, S. Mori, Birational geometry of algebraic varieties.

Курс посвящен теории особенностей алгебраических многообразий. С формально-локальной точки зрения гладкие точки алгебраических многообразий одинаковы, и наибольший интерес представляют точки, в которых гладкость нарушается, т. е. особые точки. Теория особенностей доставляют массу задач интересных как сами по себе, так и с точки зрения приложений к другим областям: классификации алгебраических многообразий, зеркальной симметрии и др. В данном курсе планируется познакомить слушателя со следующими аспектами теории особенностей.

Примерная программа курса:

1. Топологическая и аналитическая теория: расслоение и слой Милнора, число Милнора, монодромия.
2. Важные примеры: факторособенности по конечным группам, торические особенности,
3. особенности, возникающие в программе минимальных моделей.
4. Проблема разрешения особенностей: понятие раздутия, вложенное разрешение, разрешение особенностей алгебраических кривых и поверхностей.

1. Дж. Милнор, Особые точки комплексных гиперповерхностей, М.: Мир, 1971.
2. J. Seade, On the topology of isolated singularities in analytic spaces, Birkhaeuser, 2006.
3. Ю.Г. Прохоров, Особенности алгебраических многообразий, М.: МЦНМО, 2009.
4. S. D. Cutkosky, Resolution of singularities, AMS, 2004.